Pravolinijsko kretanje

Referentni sistemi

Svako kretanje je relativno - telo se kreće ako menja položaj u odnosu na neko drugo telo - referentno telo. Iako se sva tela u Svemiru nalaze u konstantnom kretanju, za proučavanje pojedinačnih slučajeva kretanja, mogu se zanemariti ona kretanja koja ne utiču na posmatrani slučaj. Ukoliko putujete od Novog Sada do Beograda, možete mirne duše zanemariti činjenicu da se svi zajedno sa Zemljom krećemo oko Sunca brzinom od 30km/s. U takvom slučaju površina Zemlje, kao i svako telo pričvršćeno za površinu Zemlje, predstavlja dobar izbor referentnog tela - tela koje relativno miruje.
Kao univerzalno referentno telo koristi se pravougli koordinatni sistem. Koordinatni sistem se vezuje za neko telo u relativnom mirovanju na način koji omogućuje korišćenje najjednostvnije matematike. Ukoliko se krećete po gradu, X osa koordinatnog sistema treba da se prostire duž ulice kojom se krećete, dok se Y osa tada prostire duž neke poprečne ulice. Ukoliko proučavamo kretanje tela niz strmu ravan, postavićemo koordinatni sistem tako da se X osa prostire niz strminu. U takvom slučaju očekivano kretanje (niz strminu) opisivaće se pomoć jedne promenljive (X), a ne dve, što bi bio slučaj da se koordinatni sistem postavlja X-horizontalno; Y-vertikalno.

Vektor položaja i pomeraj (pomak)

Vektor, čiji je početak u koordinatnom početku a kraj u posmatranoj tački, naziva se vektor položaja (r). Rastojanje između početnog (A) i krajnjeg (B) položaja tela se naziva pomeraj ili pomak (razlika dva vektora položaja). To je vektroska veličina, koja može imati kako pozitivnu, tako i negativnu vrednost, u zavisnosti od smera pomeranja.

$$\ \vec{\Delta r} =\vec{r_{2} }-\vec{r_{1} } $$

Pozicija tačke (tela) u koordinatnom sistemu se određuje pomoću njene udaljenosti od Y ose (X koordinata) i njene udaljenosti od X ose (Y koordinata). Uočavanjem pravouglog trougla ABC i korišćenjem Pitagorine teoreme, može se izračunati udaljenost između bilo koje dve tačke u koordinatnom sistemu. Sličan je postupak i za određivanje položaja i udaljenosti tačaka u prostoru, pri čemu je potrebno dodati još jednu osu (Z).

$$[AB]=\sqrt{{\left(y_{B}-y_{A} \right)}^2 +{\left(x_{B}-x_{A} \right)}^2 } $$

$$[AB]=\sqrt{{\left(1 \right)}^2 +{\left(2 \right)}^2 }$$

$$[AB]=\sqrt{5} $$

Pređeni put i putanja

Pređeni put je ukupna udaljenost koju prevali telo, krećući se od tačke A do tačke B. U opštem slučaju pređeni put i pomeraj se po vrednosti razlikuju. Dužina pomeraja je najkraći pređeni put. Neke fizičke veličine u fizici zavise od pomeraja, dok neke zavise od pređenog puta. Oblik zamišljene linije po kojoj se telo kreće se naziva putanja. Kretanje po pravoj liniji se opisuje veličinama koje se razlikuju od onih koje se koriste za opisivanje krivolinijskog kretanja, te je neophodno razlikovati tipove kretanja po obliku putanje.

Trenutna brzina

Brzina govori koliki put pređe neko telo u toku jedne sekunde.

Ukoliko se brzina meri u beskonačno malom intervalu vremena, u kojem telo ne može promeniti pravac i smer kretanja, brzina je vektor i naziva se trenutna brzina (velocity).

$$\vec{v} =\frac{\\\Delta \vec{s} }{\Delta t}$$

U vremenskom intervalu koji teži nuli (Δt ~ 0) pređeni put se poklapa sa promenom vektora položaja, odnosno pomeraj (Δr) i pređeni put (s) postaju isti.
Trenutna brzina uvek ima pravac tangente na putanju.

Srednja brzina

U nekom dužem intervalu vremena realno je očekivati da brzina menja kako pravac i smer, tako i intenzitet. U takvim slučajevima je bespredmetno govoriti o brzini kao vektoru, te se uvodi pojam srednje brzine (speed), koja je skalar. Srednja brzina se računa tako što se ukupni pređeni put podeli sa ukupnim vremenom provedenim na putu.

$$\ v=\frac{s}{t} $$

U slučajevima kada se put koji telo prelazi sastoji iz više diskretnih etapa, na kojima je telo imalo različite brzine, ukupna srednja brzina na celom putu se računa tako što se zbir dužina svih etapa podeli sa zbirom intervala vremena za sve etape.

$$\bar{v} =\frac{s_{1}+s_{2}+...+s_{n} }{t_{1}+t_{2}+...+t_{n}} $$

S1 ... Sn su deonice pređenog puta dok su t1 ... tn intervali vremena provedenog na odgovarajućoj deonici puta. Oznaka za brzinu je “v” dok je merna jedinica m/s (metar po sekundi).

Ravnomerno pravolinijsko kretanje

Ukoliko se telo kreće duž prave linije u određenom smeru , ne menjajući pritom intenzitet brzine, radi se o ravnomernom pravolinijskom kretanju. U ovom slučaju srednja brzina postaje isto što i trenutna brzina. Grafik puta predstavljen je kosom linijom, čiji nagib ukazuje na intenzitet brzine. Što je nagib veći - veća je i brzina.

Grafik puta omogućuje slikovito upoređivanje brzina. Telo, čiji je grafik puta predstavljen strmijom linijom kreće se brže (v1).

Grafik brzine, ravnomernog pravolinijskog kretanja, je predstavljen horizontalnom linijom koja seče vertikalnu (v osu) u tački koja iskazuje intenzitet brzine.

Grafik brzine iskazuje promenu brzine sa protokom vremena. Kod ravnomernog pravolinijskog kretanja, grafik brzine je predstavljen horizontalnom linijom.

Ako se iz osnovnog izraza za brzinu

$$\ v=\frac{s}{t} $$

izrazi pređeni put "s" dobija se:

$$\ s=v\cdot t$$

Ako se navedeni izraz posmatra u kontekstu grafika brzine, vidi se da je pređeni put, kod ravnomernog pravolinijskog kretanja jednak površini ispod linije grafika brzine.

Klasično sabiranje brzina

Brzina uvek mora biti izražena kao brzina u odnosu na neko telo. Ukoliko je telo, u odnosu na koje iskazujemo brzinu, u stanju relativnog mirovanja (zgrade u ulici duž koje se krećemo) tada je brzina koju merimo dovoljna da bismo relativno precizno opisali kretanje. U takvim trenucima nas kretanje zemlje oko sunca i slična kretanja ne interesuju, jer ne utiču na smisao našeg merenja. Ukoliko se nalazimo u čamcu koji se kreće po reci, tada nam veliku razliku može činiti da li se čamac kreće nizvodno ili uzvodno. U prvom slučaju (nizvodno) brzina reke doprinosi kretanju čamca, te se čamac u odnosu na obalu kreće brže. Ukoliko se čamac kreće uzvodno, reka ga sopstvenim kretanjem vuče nazad, te se čamac u odnosu na obalu kreće sporije. Prema tome, merena brzina će zavisiti od brzine kretanja sistema iz kojeg se vrši merenje:

$$\vec{v} _{č/o } =\vec{v} _{č/r }+\vec{v} _{r/o } $$

Ukoliko postoji nekoliko tela koja se nezavisno kreću, u odnosu na neko referentno telo (kretanje više automobila u odnosu na put) brzinu njihovog uzajamnog kretanja izračunaćemo tako što pronađemo vektrosku razliku njihovih brzina u odnosu na put (referentno telo):

$$\vec{v} _{1/2 } =\vec{v} _{1/r }-\vec{v} _{2/r } $$

1 - telo br. 1
2 - telo br. 2
r - referentno telo

Ako uporedimo dve prethodne formule vidimo da se radi o istom zakonu, te da bi u slučaju čamca i reke, brzina čamca u odnosu na reku mogla da se izrazi kao:

$$\vec{v} _{č/r } =\vec{v} _{č/o }-\vec{v} _{r/o } $$

Preuzmi dodatne zadatke za ravnomerno kretanje

Ravnomerno ubrzano pravolinijsko kretanje

Ukoliko u toku kretanja dolazi do promene trenutne brzine, bilo po intenzitetu, pravcu ili smeru radi se o ubrzanom kretanju. Ubrzanje govori za koliko, u kom pravcu i smeru se promeni vektor trenutne brzine svake sekunde.

$$\vec{a} =\frac{\Delta \vec{v} }{\Delta t} $$

Ukoliko se kretanje odvija duž istog pravca, brzina se menja samo po intenzitetu, te se intenzitet ubrzanja računa kao promena intenziteta brzine u jedinici vremena. Isto tako, ako je došlo do promene brzine u toku kretanja, a nemamo podatke o tačnoj zakonitosti po kojoj se brzina menjala, govorimo o srednjem ubrzanju, koje je skalar i računa se kao:

$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t} =\frac{v-v_{0} }{t-t_{0} } $$

V je trenutna brzina tela dok je V0 njegova početna brzina, odnosno brzina koju je telo imalo u početnom trenutku t0.

Ukoliko se u toku kretanja duž određenog pravca intenzitet trenutne brzine svake sekunde menja za isti iznos, govorimo o ravnomerno ubrzanom pravolinijskom kretanju. Trenutna brzina se tada računa po formuli:

$$\ v-v_{0} =a\cdot (t-t_{0} )$$

$$v=v_{0} +at $$

Pošto događaji pre početnag trenutka nemaju nikakvog značaja za dalji tok kretanja, uzeto je da je t0=0.

Pređeni put, kod ravnomerno ubrzanog kretanja, izvodi se na osnovu grafika brzine, po analogiji sa pređenim putem kod ravnomernog pravolinijskog kretanja. Na grafiku brzine kod ravnomerno ubrzanog kretanja, brzina se tokom vremena ravnomerno menja, počevši od neke početne brzine v0. U primeru na slici je prikazano ubrzano kretanje sa pozitivnim ubrzanjem, odnosno situacija u kojoj se intenzitet brzine vremenom povećava. Ukoliko se brzina tokom vremena smanjuje, radi se o usporenom kretanju, što je u suštini ubrzano kretanje sa negativnim ubrzanjem.

Kako je kod ravnomernog pravolinijskog kretanja pređeni put površina ispod linije na grafiku brzine, sledeći istu logiku, površina ispod grafika brzine kod ravnomerno ubrzanog kretanja predstavlja pređeni put, kod ovog tipa kretanja. Ovu površinu možemo iskazati kao zbir površine pravougaonika i pravouglog trougla iznad njega. Površina pravougaonika je:

$$P_{pravougaonika } =v_{0}\cdot t $$

Dok je površina trougla:

$$P_{trougla} =\frac{1}{2}at\cdot t=\frac{1}{2} at^{2}$$

Te je konačni izraz za pređeni put kod ravnomerno ubrzanog kretanja:

$$s=s_{0}+ v_{0}t+\frac{1}{2} at^{2} $$

S0 je deo puta koji je telo prešlo pre nego što je počelo da se kreće ubrzano.

Preuzmi dodatne zadatke za ubrzano kretanje

Zadaci za vežbu

1) Jedan automobil krećući se ravnomerno brzinom 12 m/s pređe za 10 s put kao i drugi automobil za 15 s. Kolika je brzina drugog automobila? (Rez: v2 = 9 m/s).

2) Prvu polovinu vremena svog kretanja automobil se kreće brzinom 80 km/h, a drugu brzinom 40 km/h. Odrediti srednju brzinu kretanja automobila? (Rez: vsr = 16,7 m/s).

3) Rastojanje između dva grada koji leže na istoj reci je 54 km. Putovanje brodom uzvodno od jednog do drugog grada traje 7 h, a nizvodno 3 h. Kolika je srednja brzina reke u odnosu na obalu, a kolika brzina broda u odnosu na vodu? (Rez: vr = 4,5 km/h; vbr = 13,5 km/h )

4) Krećući se ravnomerno usporeno sa usporenjem 0,5 m/s2 i početnom brzinom 20 m/s, voz se posle izvesnog vremena zaustavi. Posle kog vremena se voz zaustavi i koliki je pređeni put za to vreme? (Rez: t = 40 s; s = 400 m )

5) Po istom pravcu iz jedne tačke istovremeno započinju kretanje dva tela: jedno ravnomerno brzinom 98 m/s, drugo ravnomerno ubrzano bez početne brzine i ubrzanjem 9,8 m/s2. Posle koliko vremena drugo telo dostigne prvo? (Rez: t = 20 s).